Производная - один из центральных инструментов математического анализа. Она используется в физике, экономике, технике и других областях. В заданиях ЕГЭ по профильной математике производная встречается регулярно и лежит в основе анализа функций, исследования графиков и решения прикладных задач. В этом разделе приведены основные теоретические сведения о производной, её свойства и формулы.

1. Теоретические сведения о производной

1.1. Интуитивное понимание

Если функция задаёт зависимость одной величины от другой, то производная показывает, как быстро изменяется значение функции при малом изменении аргумента.

Если график функции поднимается вверх, производная положительна; если убывает — отрицательна. Если график становится горизонтальным, производная равна нулю.

1.2. Формальное определение

Производной функции f(x) в точке x₀ называют предел:

Это величина, показывающая мгновенную скорость изменения функции. Геометрически производная равна угловому коэффициенту касательной к графику функции.

2. Основные свойства производной

2.1. Знак производной

Если , то функция возрастает.

Если , то убывает.

Если , то возможен максимум, минимум или точка перегиба.

2.2. Линейность

2.3. Производная произведения

2.4. Производная частного

2.5. Производная сложной функции

Если , то .

3. Формулы для вычисления производных

функция	производная

3.3. Примеры

4. Производная и графики функций

4.1. Связь графика функции и знака производной

На участках возрастания производная положительна, на убывающих — отрицательна, в экстремумах равна нулю.

4.2. По графику производной

Если , функция возрастает.

Если , убывает.

Точки пересечения графика с осью Ox соответствуют возможным максимумам и минимумам функции.

5. Необходимые знания для ЕГЭ

• Формулы производных и правила дифференцирования.

• Связь производной с возрастанием и убыванием функции.

• Анализ графиков функции и её производной.

• Геометрический смысл производной.

• Умение быстро вычислять производные простых функций.

Поделиться

Комментарии