Определение. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число.

Какие ограничения накладываются на основание и аргумент логарифма?

Основание логарифма – число положительное и не равное 1 (a > 0, a ≠ 1)
Аргумент логарифма – число положительное (b > 0)

= с или а^с = b, где

a – основание логарифма

b – аргумент логарифма

c – показатель степени

Разберем на примере:
= 2, иначе 2² = 4.
Данное выражение читается как: «логарифм четырех по основанию два» равно двум. Получаем, что наше выражение — это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 4.

Логарифм с основанием 10 называется десятичным и обозначается lg. Пример:

lg 1 = 0, так как 10⁰ = 1

lg 100 = 2, так как 10² = 100

Логарифм с основанием е называется натуральным и обозначается ln.

ln x =

ln 1 = 0

ln e = 1

Основное логарифмическое тождество:

Если возвести основание (a) в степень, равную логарифму числа (b) по этому же основанию, получится исходное число (b).

= b

Рассмотрим основные свойства логарифмов:

1. Логарифм 1 по основанию a всегда равен 0, потому что любое число a в степени 0 равно 1.

Пример:

0

2. Логарифм числа a по основанию a всегда равен 1, так как это степень, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число a.

Пример:

1

3. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.

Пример:

=

4. Логарифм частного — это разность логарифмов делимого и делителя, при условии, что логарифмы имеют одинаковое основание.

Пример:

= =

5. =

Пример:

= = 3 0,5 = 1,5

6. =

Пример:

= = = 3

7. =

Пример:

=

8. Формула перехода к новому основанию:

=

Пример:

=

Производная от логарифма:

Производная натурального логарифма от х равна единице, деленной на х:

Производная логарифма по основанию а равна единице, деленной на переменную х, умноженную на натуральный логарифм от а:

Предлагаю рассмотреть логарифмическую функцию.

Свойства логарифмической функции:

Область определения: (0; +∞)
Область значений: R
Функция не является ни четной, ни нечетной
Нули: у=0 при x=1
Промежутки знакопостоянства:
если 0<а<1, то у>0 при х(0;1) и у<0 при x(1; +∞)
если а>1, то у>0 при х(1; +∞) и у<0 при x(0;1)
Промежутки монотонности
если 0<а<1 функция убывает при х(0; +∞)
если а>1 функция возрастает при х(0; +∞)
Экстремумов НЕТ
График функции проходит через точку (1;0)
Асимптота: x=0

Поделиться

Комментарии

Lomonosov AI